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whatis teeでteeの動作を調べてみました。
tee (1) - read from standard input and write to standard output and files
標準入力を読んで、標準出力とファイルへ書き出すということみたいです。

tee | cat
teeからcatへ渡されるのは標準出力ですね。
そして、catが標準入力として受け取ったping-tを、標準出力としてディスプレイへ出力される。
teeはファイルへも書き出したいけど、ファイル名を書き出すファイルを指定していないので、捨てられるだけでしょう。

感覚的にはecho ping-t | teeこの時点で①の分の出力がディスプレイに表示され、通常ファイルに出力されるはずの②を受け取ったcatが
ファイルに出力される情報がcatへ渡る、と考えてますよね。
そこが勘違いの元かと。

echo ping-t | tee ping.txt | cat
と実行してもらえばご理解いただけるかも。