正解

sed -e 's/p....t/HOGE/g' test.txt

解説

ファイルや標準入力の内容を編集して表示するにはsedコマンドを利用します。

sedコマンドの書式と主なオプション・編集コマンドは以下のとおりです。

sed [オプション] 編集コマンド [ファイル名]
sed [オプション] -e 編集コマンド1 [-e 編集コマンド2 ...] [ファイル名]
sed [オプション] -f スクリプト [ファイル名]


上表より、文字列を置換する編集コマンドは「s/文字列1/文字列2/g」です。
選択肢の中で文字列1にあたる「ping-t」にマッチするのは、「p」と「t」の間に任意の4文字を表している「p....t」です。

したがって正解は
・sed -e 's/p....t/HOGE/g' test.txt
です。

以下は実行例です。

$ cat test.txt
ping-t is synthesis WEB study site. 　
PING-T keeps always assisting in you.
$
$ sed -e 's/p....t/HOGE/g' test.txt
HOGE is synthesis WEB study site. 　
PING-T keeps always assisting in you.

その他の選択肢については以下のとおりです。
・sed -e 's/ping/HOGE/g' test.txt
pingをHOGEに変換しますので、誤りです。
【実行結果】
HOGE-t is synthesis WEB study site. 　
PING-T keeps always assisting in you.

・sed -e 's/p*t/HOGE/g' test.txt
pが0文字以上続いてtで終わる文字列（t,pt,ppt,ppptなど）をHOGEに変換しますので、誤りです。
【実行結果】
ping-HOGE is synHOGEhesis WEB sHOGEudy siHOGEe. 　
PING-T keeps always assisHOGEing in you.

・sed -e 's/p.*t/HOGE/g' test.txt
pではじまり任意の文字列を挟み、tで終わる文字列をHOGEに変換しますので、誤りです。
【実行結果】
HOGEe. 　
PING-T keeHOGEing in you.

なお、「p.*t」のパターンに合致するのは、一行目の「ping-t」ではなく、先頭の「p」から「site」の「t」までです。
正規表現には、最も左から、最も長く一致するものにマッチするという法則があります。

・sed -e 's/[ping-t]/HOGE/g' test.txt
p,i,nおよび、gからtのいずれかの文字をHOGEに変換しますので、誤りです。
【実行結果】
HOGEHOGEHOGEHOGE-HOGE HOGEHOGE HOGEyHOGEHOGEHOGEeHOGEHOGEHOGE WEB HOGEHOGEudy HOGEHOGEHOGEe. 　
PING-T HOGEeeHOGEHOGE aHOGEwayHOGE aHOGEHOGEHOGEHOGEHOGEHOGEHOGEHOGE HOGEHOGE yHOGEu.