今回の問題は「サーバ上でssh-keygenをして、作成したサーバの秘密鍵をクライアントに送る」と認識しているので、

ここがちょっと違うんじゃないかなと思います。

まず、設問の通りにコマンドを打つと、「サーバの秘密鍵」ではなくユーザーの鍵を生成するようになるんですよね。

$ ssh-keygen -t ecdsa
Generating public/private ecdsa key pair.
Enter file in which to save the key (/home/user/.ssh/id_ecdsa):

この時点で、「サーバの秘密鍵」を生成しようという意図ではないと読めます。また、ホスト鍵はそもそも自動で生成されますし、手動で作成する場合でも -A を指定するかと思いますので、今回のコマンドラインでは「ホスト鍵」と判断すべき理由はないかと思います。

https://man7.org/linux/man-pages/man1/ssh-keygen.1.html

  -A      **Generate host keys** of all default key types (rsa, ecdsa,
          and ed25519) if they do not already exist.  The host keys
          are generated with the default key file path, an empty
          passphrase, default bits for the key type, and default
          comment.  If -f has also been specified, its argument is
          used as a prefix to the default path for the resulting
          host key files.  This is used by /etc/rc to generate new
          host keys.

何より、「サーバの秘密鍵」をクライアントに送る理由はありません。参考の「ホスト認証」の部分を再度ご確認いただくのが良いかなと思います。