正規表現を学習されるとこの疑問は解消します。「正規表現」で Google 検索した一番上のやつです。
https://userweb.mnet.ne.jp/nakama/

簡単にいうと () は「キャプチャ」のためのもので、今回だと「(RT-..) はマッチした文字列のグループ1番目」という意味になって、後で「グループ１に入ってる文字列」を参照したい時に使えるものです。
ただ、今回の場合だとぶっちゃけ不要なんですよね。これでも同じ結果になります。

no event manager applet check_cdp_router
event manager applet check_cdp_router
 event none
 action 1.0 cli command "enable"
 action 2.0 cli command "show cdp neighbors"
 action 3.0 regexp "RT-.." "$_cli_result" <<<ここ
 action 4.0 if $_regexp_result eq "1"
 action 5.0  puts "Router detected."
 action 6.0 else
 action 7.0  puts "Router not detected."
 action 8.0 end

実行結果はこうです。

Router#event man run check_cdp_router
Router detected.

でもですね…これ実は問題の要件満たしてないんですよね。実はこういう環境です。

Router#sh cdp nei
Capability Codes: R - Router, T - Trans Bridge, B - Source Route Bridge
                  S - Switch, H - Host, I - IGMP, r - Repeater, P - Phone,
                  D - Remote, C - CVTA, M - Two-port Mac Relay

Device ID        Local Intrfce     Holdtme    Capability  Platform  Port ID
test-RT-01       Gig 0/0           148              R B             Gig 0/0

Total cdp entries displayed : 1

元々の正解のやつでも同じ結果になります。

Router#conf t
Enter configuration commands, one per line.  End with CNTL/Z.
Router(config)#event manager applet check_cdp_router
Router(config-applet)# action 3.0 regexp ".*(RT-..).*" "$_cli_result"
Router(config-applet)#end
Router#show run | sec check_cdp_router
event manager applet check_cdp_router
 event none
 action 1.0 cli command "enable"
 action 2.0 cli command "show cdp neighbors"
 action 3.0 regexp ".*(RT-..).*" "$_cli_result" <<<ここ
 action 4.0 if $_regexp_result eq "1"
 action 5.0  puts "Router detected."
 action 6.0 else
 action 7.0  puts "Router not detected."
 action 8.0 end
Router#event man run check_cdp_router
Router detected.

show cdp neigubors の出力と「RT-で始まる」というのを意識して正規表現とか考える必要があるので、自分だったらこうするかなーと。（なぜか行頭を示す ^ が動かなかった…）

Router#conf t
Enter configuration commands, one per line.  End with CNTL/Z.
Router(config)#event manager applet check_cdp_router
Router(config-applet)#action 3.0 regexp "\nRT-.. " "$_cli_result"
Router(config-applet)#end
Router#show run | sec check_cdp_router
event manager applet check_cdp_router
 event none
 action 1.0 cli command "enable"
 action 2.0 cli command "show cdp neighbors"
 action 3.0 regexp "\nRT-.. " "$_cli_result"
 action 4.0 if $_regexp_result eq "1"
 action 5.0  puts "Router detected."
 action 6.0 else
 action 7.0  puts "Router not detected."
 action 8.0 end
Router#event man run check_cdp_router
Router not detected.

ちゃんと行頭のも対応できます。

Router#sh cdp nei
Capability Codes: R - Router, T - Trans Bridge, B - Source Route Bridge
                  S - Switch, H - Host, I - IGMP, r - Repeater, P - Phone,
                  D - Remote, C - CVTA, M - Two-port Mac Relay

Device ID        Local Intrfce     Holdtme    Capability  Platform  Port ID
test-RT-01       Gig 0/0           126              R B             Gig 0/0
RT-01            Gig 0/0           179              R B             Gig 0/0 <<<要件に合う行

Total cdp entries displayed : 2
Router#event man run check_cdp_router
Router detected.