backup がディレクトリではなくファイル(かつ書き込み可能)ならエラーになりません。
問題文でls -l の結果が

drwxr-xr-x. (…中略…) backup

のようになっていますが、先頭の文字がd であることからbackup がディレクトリであることに気づくことが必要です。
もし

-rwxr-xr-x. (…中略…) backup

のように先頭の文字が-になっていればbackup はディレクトリではなく通常ファイルなので、あとはスクリプトを実行したユーザーにこのファイルへの書き込み権があればエラーになりません。

リダイレクト先に"backup"が指定されているため、
エラーになっています。

$ls -l の実行結果からわかるようにbashスクリプト"backup.sh"以外に同じ階層には
"backup"というディレクトリが存在しています。
（蛇足かもしれませんがdrwxr-xr-x の部分でdから開始していることからbackupはファイルではなく、ディレクトリです。）

もしも"backup"がファイルであればリダイレクトにより書き込みが出来てエラーにはならなかったはずですが
（catが実行できているためbashを実行しているのはstaffユーザとみられるため）、
前述の通り、ディレクトリなので書き込みは出来ません。
恐らくエラーメッセージの内容はこんな感じだと思います↓

-bash: backup: Is a directory

以上より「どうすればエラーにならないのか」ですが、
リダイレクト先に"backup"という名称を避けたファイルを指定すれば良いと思われます。
それによってリダイレクトの指定先がディレクトリであることに起因するエラーを回避出来ます。
■■■■■■■■■■■■■
#!/bin/bash

if test -e backup; then
date > (※ここでbackup以外の文字列を指定する)
fi
■■■■■■■■■■■■■
ご参考となれば幸いです。