私は下記のように解釈しました。

問題文の「（server1の名前解決はできている。）」ということはつまり、「server1のIPアドレスが取得できている」ということです。
より厳密に言うと、server1の直前までパケットが届いている状態です。

---イメージ図-----------
Linuxマシン⇒ネットワーク機器1(OK)⇒ネットワーク機器2(OK)⇒...⇒ネットワーク機器N(OK)⇒server1(NG)

上記の図から、server1が存在していることは確定しているため、「応答がない」というエラーになります。

一方で、「ホストに届かないというエラーが返ってくる」というのは、server1までの経路の途中でルーティングに失敗（そのようなIPアドレスを持つホストは存在しな）という状態です。
---イメージ図---------------
Linuxマシン⇒ネットワーク機器1(OK)⇒ネットワーク機器2(OK)⇒...⇒ネットワーク機器N(NG) ←ルーティングテーブルに存在しないアドレスのためエラー

※あくまで私個人の意見なので誤りや不明点などがあれば指摘して頂けたら幸いです。

sugissbm様
ご回答、有難うございます。

問題文の「（server1の名前解決はできている。）」ということはつまり、「server1のIPアドレスが取得できている」ということです。

ご指摘の通りかと思いますが、この文章は、DNSサーバから、問い合わせた
名前に対応するipアドレスが取得できているという意味かと思います。
これは、DNSサーバとの通信の結果で、server1との通信との関係がないことから
この情報からは、通信宛先のserver1との通信結果は導けないと思います。

「ホストに届かないというエラーが返ってくる」というのは、server1までの経路の途中でルーティングに失敗（そのようなIPアドレスを持つホストは存在しな）という状態です。

上記は、この問題の選択肢でいうと
「ネットワークに届かないというエラーが返ってくる」---(A)
かと思います。
逆に言うと、経路の途中で失敗すると(A)になってしまうので
・応答が無い
・ホストに届かないというエラーが返ってくる
は、いずれも、「server1の直前までパケットが届いている状態」になると思っています。

上記を踏まえた場合に、本件の質問がどの様な回答になるかがわかりますと
大変ありがたいです。宜しくお願いします。

server1がダウンしてからの経過時間の違いとの理解で正しいでしょうか。

正しくないです。

（server1ダウン直後は①で、それから十分な時間が経過すると②になる？）

違います。

• 応答がない場合、「当該アドレスからICMP Echo Replyが返ってこない」ことを意味します。
• Destination host unreachableが返ってくる場合、途中経路のどこかのルータが「そのホストへ到達可能な経路情報が存在しない」ことを通知するためにICMP Type 3 Code 1のメッセージを返してきています。そのため、宛先ホストがダウンしているかどうかは不明です。途中経路のルータがダウンしている、もしくは経路情報が壊れているなどがありえます。
• ダウンしているホストが同一セグメント内に存在する場合、Destination host unreachableが返ってくることはないが間違いなく「応答なし」になります。
• 上記の条件を組み合わせると、ダウンしている場合は応答なしとなることが期待されますが「ホストに届かない」「ネットワークに届かない」メッセージは宛先ホストがダウンしていることを意味しません。

宛先ホストがダウンしている場合はどこからpingを打っても、名前解決が成功していたとしても応答することはありません。対して、「ホストに届かない」「ネットワークに届かない」場合はサーバが接続されているスイッチに接続して同じネットワークアドレスに所属するアドレスからpingを打った場合には応答が返ってくることが期待されます。

設問にはネットワークに問題があるという条件は記載がなくpingによるICMP Echo Requestは到達することが期待される状況と考えられますので、ICMP Type 3 Code 0/1が返ってくることはないと認識するのが自然かと思います。

arashi1977様
ご回答、有難うございます。

私の質問は、以下のケースでルータ2からDestination host unreachableが返ってくる場合が
あるのではないかという意図でした。

Linuxマシン---ルータ1---ルータ2---(サーバserver1)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ダウン

誤情報の可能性がありますが、例えば、https://beginners-network.com/icmp.html の
Destination host unreachableの説明では、本問題のケースでルータ2から
Destination host unreachableが返ってくるとされている様に見えます。
上記について、ご存じであれば、教えて下さい。宜しくお願いします。