前提として、destinationに指定したアドレスへの経路情報がルーティングテーブルに存在するときだけ、トンネルがupしますよね。
もう一つ前提として、インターフェースがupしてないと、それがネクストホップに指定された経路情報はルーティングテーブルに載らないというのもありますよね。

では、Tunnel13が一度もdownしておらず、初めからupしている状態の場合、どのような処理になるのでしょうか？

トンネルがupしている状態から考えても、downしている状態から考えても、生じる現象は同じですよ。
１．ルーティングテーブルが作成される段階で「ip route 3.3.3.3 255.255.255.255 10.1.3.3」と「10.1.3.0 is directly connected, Tunnel13」でループが起きて、トンネルがdownさせられる。（「Tunnel13」のdestinationは「3.3.3.3」なので、ルータは「3.3.3.3」に一番当てはまるルートを参照する。）
２．トンネルがdownするとルーティングテーブルから「ip route 3.3.3.3 255.255.255.255 10.1.3.3」と「10.1.3.0 is directly connected, Tunnel13」が消えるので、次は3.3.3.3がデフォルトルートに当てはまるようになり、トンネルがup。
３．トンネルがupすると、「ip route 3.3.3.3 255.255.255.255 10.1.3.3」と「10.1.3.0 is directly connected, Tunnel13」が復活。
１～３の繰り返しです。トンネルがupしていればループが検出されてdownさせられて、トンネルがdownしていればデフォルトルートに当てはまるのでトンネルがupしています。

これらの現象は全て、「ルーティングテーブルが作成される」段階でのことです。
転送処理は行われていません。これらの現象は「GREによるカプセル化」よりも前の段階ですよ。

カプセル化が行われる条件はネクストホップがTunnelxとされている場合のみでしょうか？

転送処理が行われる段階になったとして、GREによるカプセル化が行われる条件は「トンネルを通るかどうか」だと思いますよ。
つまり「パケットの宛先IPアドレスが当てはまっているルート情報のネクストホップがトンネルのものかどうか」だと思います。
「ip route 192.168.3.0 255.255.255.0 Tunnel13」はネクストホップにトンネルインターフェースを指定してるので、トンネルを通らされます。もしこれが「ip route 192.168.3.0 255.255.255.0 10.1.3.3」という書き方、つまりネクストホップをトンネルのIPアドレスで指定したとしても、同じようにトンネルを通らされます。